这套卷子 19 道题，我们一题一题拆：先看原卷怎么问，再把图一步步画出来，最后对照解法要点。
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vizchat/gaokao-2026-quanguo-1-math · 2026年10月 发布
更新于 2026年10月21日
19 道真题逐题拆解：原卷定位、图形分步生长、解法要点对照。
这套卷子 19 道题，我们一题一题拆：先看原卷怎么问，再把图一步步画出来，最后对照解法要点。
第 1 题送分，但送的是「会不会先排序」这一分。排序不是解题技巧，它写在中位数的定义里——五个数原样摆着中位是 4，排完序才是 6。
把原始顺序和排序后的顺序并排放。正中那个位置就是答案。
排完序是 4、5、6、8、12，五个数取正中的第三个，答案 6，选 B。这一分不在计算上，在定义上——原样取中得到的 4 正是命题人留的那个坑。
第 2 题：a、b 不共线，2a+yb = xa−3b。不共线是关键词——它让「系数对应相等」成为合法推理。
把 a、b 画成不共线的两个向量。左边的 2a+yb 与右边的 xa−3b 要是同一个向量，两条路径必须落到同一点。
回到那条推理：不共线才有唯一表示。系数对应相等，x=2、y=−3，选 A。
第 3 题考的是三角函数特殊值，不是集合运算——把三个值算出来，交集就一眼看见了。
A 的三个元素算出来是 −1/2、1/2、1。把 B 的元素放进来：共有的那两个自动落进中间那块。
三个值分别是 −1/2、1/2、1。与 B 一比，交集是 −1/2 与 1，选 C。
第 4 题：y=5x+8ln x 在 (1,5) 处的切线。导数给斜率，点给位置，两件事凑齐就写得出来。
先画曲线，注意定义域是 x>0。切线是派生对象：给定曲线和切点，它自己算出来——改切点，切线跟着走。
导数在 x=1 处等于 13，这就是斜率。点斜式一写，切线是 y=13x−8，选 D。
第 5 题：两条开口方向不同的抛物线都过 (4,8)。各自把 p 解出来，焦点就定了。
两条抛物线画出来，交点之一正是 (4,8)。焦点是派生的——跟着曲线走，不是手填的坐标。量一下两焦点的距离。
p₁=8、p₂=1，焦点分别是 (4,0) 与 (0,1/2)。距离 √65/2，选 D。
第 6 题：f(x)=(x+2)/(eˣ+a) 的最大值是 1，求 a。最大值这个条件同时给了两件事——导数为零、函数值为 1。
a 是绑定参数——它一变，整条曲线跟着变形。标出峰值那条水平线 y=1：只有 a=1 时曲线恰好顶到它而不越过。
导数为零与函数值为 1 联立，分母那一步把 e^{x₀} 逼成 1。于是 x₀=0、a=1，选 B。
第 7 题有实物背景，但数学只有两层：先把 12 行的座数写出来，再问怎么分成 6 组使组和成等差。
先把 12 行座数按题意排出来：前五行是给定的，从第六行起才是公差 2 的等差。把分组方案摆成表——每组两个数，组和一路加 4。
总和给出 2s₁+5d=36。d=4 能真配出来，答案是 4。
第 8 题：64 个点里去掉 P(1,1,1)，求剩下 63 个点上 x₁+x₂+x₃ 的期望。直接枚举是死路，对称性才是入口。
每个坐标独立地在 −2、−1、1、2 里等概率取值。均值线落在 0 上——这就是整个 U 求和为零的原因。
U 上求和为零，去掉 X=3 的那个点。期望是 −1/21，选 A。
第 9 题四个选项各考一件事：共轭、模、平方、以及一个商是不是实数。逐个验，别猜。
把 z 画在复平面上：横轴实部、纵轴虚部。共轭是关于实轴的镜像；平方把模平方、辐角翻倍，所以 z² 跑到了更远的地方。
模是 √13 不是 5，B 错。其余三个都对，选 ACD。
第 10 题：C、D 到直线 AB 的距离固定，二面角固定，但它们都能沿 AB 方向自由滑动。四个选项里有两个会被这个自由度打破。
AB 是那条棱，C 与 D 各在一个半平面上。两条到棱的垂线段画出来——长度 2 与 1，夹角就是二面角 60°。连 CD：它的长度只随两个垂足的错开量变，最短就是垂足重合的时候。
沿棱滑动的自由度让 ∠CAD 可以任意小，A 错；同样的自由度下 AC·AD 恒为正，D 错。CD ⩾ √3 与「AB⊥CD 时 CD⊥平面 ABD」成立，选 BC。
第 11 题：三个半径都是 1 的圆，圆心构成边长 2 的等边三角形。弦长只由圆心到直线的距离决定，所以四个选项都是在问同一件事的不同侧面。
三个圆心构成等边三角形。放一条过原点的直线，斜率是绑定参数。斜率一变，三条弦同时变——s₁+s₂+s₃ 在某个斜率处取到最大。
k=±√3/3 是唯一取不到的斜率，A 错。等距直线恰 3 条、和为 3 的有无穷条、b=0 时最大值 2√21/3，选 BCD。
第 12 题：5x²−6y²=1。右边是 1 不是别的，所以 a² 与 b² 直接读得出——先化标准式再套公式。
把双曲线画出来。渐近线是派生对象——它由曲线自己算出，斜率 ±b/a 正是 a、b 的比值在图上的样子。
a²=1/5、b²=1/6，双曲线的 c² 是两者相加。离心率 √66/6。
第 13 题：f(x)=2sin(ax+θ) 是偶函数，且在 (0, π/2) 上递增。偶性把 θ 锁到两个候选，递增再从中挑一个。
横轴按 π 刻度。先画 2cos x：在 (0, π/2) 上是降的。再画 −2cos x：同一区间上升。两条 |a| 的候选都经过 (2π/3, 1) —— 答案与 a 无关就是这个意思。
偶性给出 θ 只能是 π/2 或 3π/2，递增挑走后者。f(2π/3)=1，且 |a|=1 与 2 都给同一个值。
第 14 题：条件只给 S₃ₙ，也就是每三项一组的和被钉死。要在里面塞进连续 9 项的等比数列，公比最大能多大。
把 S₃ₙ 差分出来：每三项一组的和构成 2、4、6、8 这条等差数列。9 个连续项若正好压三整组，相邻组和之比要同时等于两个不同的数——矛盾就在这里。
压三整组无解，必须错位。中间两整组给出 q³=(m+2)/(m+1)，m=1 时最大，q=∛(3/2)。
第 15 题，13 分，考的是直三棱柱里的线面平行和距离。条件有三个：底面 ∠ACB 是直角、AC 和 BC 相等、D 和 E 分别是 AB 与 AC₁ 的中点。注意底面是等腰直角三角形，不是正三角形——这决定了我们怎么把它画出来。
先把棱柱画出来。底面是等腰直角三角形，所以这里用的是自由多面体：给出六个顶点和五个面。标出 D 和 E 两个中点，连出 DE。再把「D 到平面 BCC₁B₁ 的距离」这条垂线段画成虚线——它落在形体内部，正是虚线该出现的地方。
把 45° 这个条件用上，就能定出 a。答案是 1——线面平行时，线到面的距离就是线上任一点到面的距离，取 D 最省事。
第 16 题两问：先用余弦定理求 cos A，再在 DE∥BC、AE⊥AC 的约束下求 CE。第二问的两个条件各管一个方向。
先把等腰三角形放好：AB=AC=3，BC=2√3。D 落在 BA 的延长线上，过它作 BC 的平行线——平行线是派生对象，依赖点和被平行的那条线。再过 A 作 AC 的垂线，它与那条平行线的交点就是 E。
cos A = 1/3，三角形是等腰的。两个条件把 t 与 λ 绑成 t=2λ，DE=√6 定出 λ，最后 CE=3√5。
第 17 题，15 分。规则要读准：至多投 N 次，当且仅当投中一次、或者 N 次全没中，才停。换句话说，X 就是「第一次投中的次数」，但封顶在 N。这个「封顶」是后面两问的关键。
把 N=4、p=1/3 的分布列画成图。注意最后一根柱子比前面的规律值高——那正是「第 4 次中不中都停」带来的合并。期望线标在这里，虽然本题没问，但它让分布的重心一眼可见。
第二问用的是同一个观察：X 大于 k，就是前 k 次全未中。于是条件概率一约分就剩 q 的 m 次方——无记忆性。
第 18 题，17 分，是这份卷子的压轴解析几何。左焦点 F(−1,0)、离心率 1/2，第一问求方程。第二问的两小问都绕着同一个图：过 F 的动直线交椭圆于 P、Q，直线 PO 再交椭圆于 R。这里有个关键观察——O 是原点，所以 R 就是 P 关于原点的对称点。
先画椭圆和左焦点——焦点是派生对象，跟着曲线走，不是手填的坐标。再放一条过 F 的动直线：它的斜率绑在参数 k 上，k 一变 P、Q 就沿椭圆滑动。P、Q 是直线与椭圆的两个交点，同样是派生的；R 取 P 关于原点的对称点。
把直线定在第一小问的答案上：斜率 √5/2。这时 |y_Q| 恰是 |y_P| 的一半，面积关系就是这么来的。连出三角形 PQR，量一下 ∠PQR。第二小问要的是这个角的正切最小值——把 tan 化成 3m + 4/m，均值不等式给出 4√3。
第 19 题把「函数在某点之后会不会变大」打包成一个集合 D(x₀)。三问层层递进，第一问先把这个集合算具体。
x<0 的一支是 2ˣ，x⩾0 的一支是 1−x，在 0 处从 1 起跳。水平线 y=1/2 就是 f(−1) 的高度：函数高过它的那一段，平移回去就是 D(−1)。
D(−1) 的两段恰好接上，合成 (0, 3/2)。后两问的共同支点：D 把大小关系翻译成集合包含，单调性于是变成包含链。
19 道题走完了。回头看一遍：哪一类题该画什么图，其实相当稳定——解析几何画曲线与派生点，立体几何搭多面体，概率画分布，数列看通项与前 n 项。把这份对照表记住，比记住某一道题的答案有用。
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